多資產相關性與組合最佳化

相關係數熱圖

以年度報酬計算的 Pearson 相關係數。年度資料的樣本數少，短時代的估計誤差很大 —— 每格滑鼠移上去會顯示該組合實際用到的年數 n。

組合最佳化

以上方選定的資產與時代估計 μ 與 Σ，求解四種經典配置。年度資料的估計誤差極大，請把結果當成「思考工具」而不是建議書。

自選 5 資產最佳化

五個欄位可以從左邊的下拉選單挑內建資產（自動帶入該時代的 μ、σ 與相關係數），也可以整列自己填 —— 名稱、預期報酬、波動度、相關係數都能手動輸入。空白列會自動略過，所以只想比較兩三種資產也可以。

方法與限制

怎麼算的

• 相關係數：對每一組資產採「成對完整」樣本（pairwise complete），因此不同格子的 n 可能不同（比特幣只有 2014 年起、以太坊 2017 年起）。
• 共變異數矩陣：最佳化時改採「整列完整」樣本（listwise），確保矩陣一致。選入加密貨幣會讓可用年數大幅縮短。
• 收縮：Σ* = (1−δ)Σ + δ·diag(Σ)，是 Ledoit–Wolf 收縮的簡化版，同時解決樣本數不足導致的矩陣奇異問題。
• 長倉限制：以投影梯度法求解（每步梯度後交替投影到 {Σw=1, μ'w=目標} 與 {下限 ≤ w ≤ 上限}），結果已與 SLSQP 二次規劃交叉驗證。
• 風險平價：以乘法迭代 w_i ← w_i · (σ²_p/n) / (w_i·(Σw)_i) 收斂到各資產風險貢獻相等。
• 分散化比率：(Σ w_iσ_i) / σ_p。等於 1 代表毫無分散效果，越大代表相關性帶來的降險越多。

為什麼結果不能直接拿去下單

• 年度資料樣本太少。15 個年度觀察值估 17×17 的共變異數矩陣，理論上需要 ≥ 153 個獨立觀察值。這也是本頁預設 δ = 0.2 的原因。
• 時代切片更誇張。「疫情與通膨回歸」只有 6 個年度樣本，相關係數的 95% 信賴區間寬到幾乎沒有資訊量。看趨勢、不要看小數點。
• μ 不是預測。比特幣 2011–2025 的年化超過 50%、標準差接近 400%，那是歷史，不是期望值。
• 相關性在危機時上升。正好在最需要分散的時候失效。歷史平均相關係數會低估真正的尾部風險。
• 台股以新台幣計價，其餘以美元計價，跨市場比較未計入匯率。