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槓桿 ETF 應用

每日重新平衡的 L 倍槓桿 ETF，長期年化報酬不是原型的 L 倍。這裡用 3D 曲面把「報酬」「波動」「槓桿」三者的交互作用一次攤開：所有參數都可以直接輸入數值。

Volatility Decay Optimal Leverage Kelly Criterion Path Dependence Financing Cost

3D 互動模型

x 軸：原型指數年化波動 σ　·　y 軸：原型指數年化報酬 μ　·　z 軸：槓桿 ETF 年化幾何報酬 g(L)。 每個欄位都可用滑桿拖曳，也可以直接在數字框輸入（可超出滑桿範圍）。

① 股債比

股票佔比%
債券佔比 0%
成分假設E[R] %σ %
股票
債券
股債相關係數 ρ

② 原型 ETF 報酬　③ 市場波動度

原型年化報酬 μ%
市場年化波動度 σ%
勾選自動推算時這兩欄由股債比決定；取消勾選即可自行輸入任意數值。

④ 槓桿倍率與成本

槓桿倍率 L×
融資成本 c（年化）%
內扣總費用 f（年化）%
融資成本僅對超額的 (L−1) 部位計收；L<1 時為現金部位的利息收入。

圖形設定

σ 軸上限 %
μ 軸下限 / 上限 %
z 軸範圍 ±%
拖曳可旋轉、滾輪縮放、雙擊重置視角。黑點為目前參數所在位置。
槓桿 ETF 年化報酬 g(L)
—
原型幾何報酬 g(1)
—
波動耗損 L(L−1)σ²/2
—
最適槓桿 L*
—

年化報酬 vs 槓桿倍率

藍線 g(L)；綠點為 L*；紅點為目前設定；灰線為 0%。

診斷

怎麼讀這張曲面：沿 y 軸（報酬）走，曲面近似線性上升 L 倍；沿 x 軸（波動）走，曲面以 \(-\tfrac12L^2\sigma^2\) 二次下墜。 這就是為什麼 3× 槓桿在低波動多頭市場神勇、在高波動盤整市場能把本金磨光 — 兩者是同一條公式的兩端。 把股票佔比往債券方向拉，σ 下降、曲面移向「可承受更高槓桿」的區域，這正是風險平價（risk parity）加槓桿的理論基礎。

數學架構

以下推導對應上方模型實際執行的運算。

連續時間下的槓桿基金

設原型指數遵循幾何布朗運動，\(\mu\) 為算術（瞬時）漂移、\(\sigma\) 為波動度：

$$\frac{dS_t}{S_t}=\mu\,dt+\sigma\,dW_t$$

每日重新平衡的 L 倍基金，每一瞬間都把曝險維持在淨值的 L 倍；超額的 \((L-1)\) 部位以利率 \(c\) 融資，另扣年化費用 \(f\)：

$$\frac{dF_t}{F_t}=L\frac{dS_t}{S_t}-\big[(L-1)c+f\big]dt=\Big[L\mu-(L-1)c-f\Big]dt+L\sigma\,dW_t$$

基金本身也是幾何布朗運動，漂移 \(L\mu-(L-1)c-f\)、波動 \(L\sigma\)。由 Itô 引理，\(d\ln F=\big(\text{drift}-\tfrac12(\text{vol})^2\big)dt\)：

$$\boxed{\ g(L)=L\mu-(L-1)c-f-\tfrac12L^2\sigma^2\ }$$

這就是曲面 z 軸的方程式。\(g\) 對 \(\mu\) 線性、對 \(\sigma\) 二次遞減，且二次項係數帶 \(L^2\)。

「波動耗損」精確是多少

原型自身的幾何報酬為 \(g(1)=\mu-f-\tfrac12\sigma^2\)。若天真地以為槓桿基金能拿到原型幾何報酬的 L 倍，落差為：

$$L\cdot g(1)-g(L)\ \Big|_{c=f=0}=\tfrac12\big(L^2-L\big)\sigma^2=\frac{L(L-1)}{2}\sigma^2$$

數字感：\(\sigma=20\%\) 時，2× 的耗損為 \(\tfrac{2\cdot1}{2}(0.04)=2.0\%\)／年；3× 為 \(\tfrac{3\cdot2}{2}(0.04)=12\%\)／年。若 \(\sigma=40\%\)，3× 的耗損直接跳到 \(3\times0.16=48\%\)／年 — 耗損對波動是平方關係。

離散版本（每日重新平衡）

令原型日報酬 \(r_t\)，槓桿基金日報酬 \(Lr_t\)（略去費用）。n 日後：

$$\frac{F_n}{F_0}=\prod_{t=1}^{n}\big(1+Lr_t\big)\ \ne\ \Big(\prod_{t=1}^{n}(1+r_t)\Big)^{L}$$

取對數並對 \(r_t\) 做二階泰勒展開 \(\ln(1+Lr)\approx Lr-\tfrac12L^2r^2\)，取期望值後恰好回到上式的連續時間結果。

最大化長期成長率

對 \(g(L)=L\mu-(L-1)c-f-\tfrac12L^2\sigma^2\) 求極值：

$$\frac{\partial g}{\partial L}=\mu-c-L\sigma^2=0\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\ L^*=\frac{\mu-c}{\sigma^2}\ }$$

這正是 Kelly 準則的連續時間版本，也等於效用 \(U=E[R]-\tfrac12\gamma\sigma^2\) 在 \(\gamma=1\)（對數效用）時的最適曝險。與第 1 部分 CAL 上的 \(y^*=(\mu_T-r_f)/(\gamma\sigma_T^2)\) 是同一條式子 — 槓桿 ETF 只是把「沿 CAL 加槓桿」包成一檔基金。

因為 \(g\) 對 \(L\) 是倒 U 型拋物線，\(g\) 在 \(L=0\) 與

$$L_{\max}=\frac{2(\mu-c)}{\sigma^2}=2L^*$$

兩處回到與現金相同的報酬。槓桿超過 \(2L^*\) 後，加槓桿反而不如什麼都不做 — 這是「過度槓桿」的精確門檻。

槓桿何時仍優於原型

令 \(g(L)>g(1)\)（忽略費用差異）：

$$(L-1)(\mu-c)>\tfrac12(L^2-1)\sigma^2\ \Longrightarrow\ \sigma<\sigma^*=\sqrt{\frac{2(\mu-c)}{L+1}}$$

右側診斷表會即時算出臨界波動 \(\sigma^*\)。在 3D 圖上，它就是槓桿曲面與 1× 曲面的交線。

風險維度的代價

槓桿基金的夏普比率不會因加槓桿而提高（扣掉融資成本後甚至下降）：

$$S_L=\frac{\big[L\mu-(L-1)c-f\big]-c}{L\sigma}=\frac{\mu-c}{\sigma}-\frac{f}{L\sigma}\ \le\ S_1$$

槓桿買的是沿 CAL 的位移，不是斜率的改善。任何宣稱「加槓桿提升風險調整後報酬」的說法，必然來自別的假設（均值回歸、動能，或標的本身夏普較高的低波動資產）。

路徑依賴：同樣的起點與終點，不同的結果

槓桿 ETF 的報酬取決於路徑，不只是端點。經典數例（2× 槓桿，無費用）：

$$\begin{array}{lccc} & \text{第 1 日} & \text{第 2 日} & \text{累積}\\\hline \text{原型} & +10\% & -9.09\% & 0.00\%\\ \text{2×} & +20\% & -18.18\% & -1.82\% \end{array}$$

原型完整回到起點，2× 卻少了 1.82%。這不是追蹤誤差或管理不當，而是每日重設槓桿的數學必然。震盪愈劇烈、持有愈久，缺口愈大。

但趨勢盤反而放大

若原型連續兩日各漲 10%（累積 +21%），2× 為 +44%，大於 \(2\times21\%=42\%\) — 單向趨勢時每日重設會產生正的複利加成。正確的直覺不是「槓桿一定損耗」，而是：

  • 低波動 + 明顯趨勢 ⇒ 槓桿產生超額複利（凸性有利）
  • 高波動 + 區間震盪 ⇒ 槓桿快速耗損（凸性不利）
  • 兩者的分界就是 \(L\mu\) 與 \(\tfrac12L^2\sigma^2\) 的拉鋸
實務上這使槓桿 ETF 的報酬型態近似「持續賣出選擇權」：多數時間小賺，波動飆升時大賠。VIX 飆高與槓桿產品爆倉常同時發生，並非巧合。

模型省略了什麼

  • 波動不是常數。\(\sigma\) 有群聚性（GARCH 效應）。模型用單一 \(\sigma\)，實際上耗損集中發生在少數高波動期間；以歷史平均波動代入會系統性低估風險。
  • 報酬不是常態。單日 −33% 就足以讓 3× 基金淨值歸零，這在對數常態假設下機率極低，但 1987、2020/3、2024/8 都出現過近似情形。
  • 融資成本隨政策利率浮動。2021 年 \(c\approx0.2\%\)、2024 年 \(c\approx5.4\%\)。對 3× 產品是每年逾 10% 的成本差異，足以翻轉結論 — 可直接在左側輸入實測。
  • 內扣費用偏高。主流 3× 產品總費用約 0.9%–1.1%，已內含於 NAV。
  • 重設頻率。每日重設 vs 每月重設的耗損結構不同；每月重設耗損較低但路徑風險更集中。
  • 發行商終止風險。淨值大跌後可能反向分割或直接清算，損失被鎖定，無法等待反彈。

學術上較站得住腳的用法

  • 對低波動資產加槓桿（債券、風險平價組合），而非對已經高波動的個股或產業加槓桿 — 因為 \(L^*=(\mu-c)/\sigma^2\) 的分母是平方項。
  • 生命週期槓桿（Ayres & Nalebuff, Lifecycle Investing）：年輕時以適度槓桿分散跨時間的風險曝險，隨年齡降低倍率。
  • 分數 Kelly：實務多用 \(0.25L^*\sim0.5L^*\)，因為 \(\mu\) 的估計誤差會讓全 Kelly 過度槓桿，回撤深度也難以承受。
  • 短期戰術工具而非長期核心持股 — 發行商公開文件本身就這樣定位。
主要文獻：Cheng & Madhavan (2009) The Dynamics of Leveraged and Inverse ETFs；Avellaneda & Zhang (2010) Path-Dependence of Leveraged ETF Returns, SIAM J. Fin. Math.；Kelly (1956)；Merton (1969)；Ayres & Nalebuff (2010)。本頁為教學用途，不構成投資建議。

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