效率前沿與資本市場線

互動模擬器

五項資產的假設值可直接編輯（年化，%）。相關係數矩陣控制分散效果，無風險利率決定 CAL 的截距。

資產假設

資產	E[R] %	σ %

參數

無風險利率 r_f 3.0%

效率前沿上的位置 —

CAL 上投入切點組合的比重 100%

禁止放空（w_i ≥ 0）顯示隨機組合雲（4,000 組）顯示資本配置線 CAL

效率前沿無效率分支資本配置線 CAL 最小變異組合 GMV 切點組合 T 你選的組合

選定組合 E[R]

—

選定組合 σ

—

夏普比率

—

最大夏普（切點）

—

選定組合的權重

切點組合 T 的權重

試試看：把「投資級債券」與「美股大型股」的相關係數從 0.10 拉到 0.95，前沿會急遽向右塌陷成一條近似直線 — 這就是分散效果消失的樣子。反向把它拉到 −0.5，前沿會向左彎出一個誇張的鼻子，代表用低相關資產「免費」換到的風險降低。

數學架構

以下推導對應上方模擬器實際執行的運算。

問題設定

設 $n$ 項風險性資產，期望報酬向量 $\boldsymbol{\mu}\in\mathbb{R}^n$、共變異數矩陣 $\Sigma\in\mathbb{R}^{n\times n}$（對稱正定）。權重向量 $\mathbf{w}$ 滿足 $\mathbf{1}^\top\mathbf{w}=1$。組合的前兩階動差為

$$\mu_p=\mathbf{w}^\top\boldsymbol{\mu},\qquad \sigma_p^2=\mathbf{w}^\top\Sigma\,\mathbf{w}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n w_iw_j\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j$$

其中 $\Sigma_{ij}=\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j$。效率前沿是所有可行組合中，在給定期望報酬下變異數最小者所形成的集合的上半支：

$$\min_{\mathbf{w}}\ \tfrac12\mathbf{w}^\top\Sigma\mathbf{w}\quad \text{s.t.}\quad \boldsymbol{\mu}^\top\mathbf{w}=\mu_p,\ \ \mathbf{1}^\top\mathbf{w}=1$$

分散效果從哪裡來

兩資產情形最能看清楚。令權重 $w,1-w$：

$$\sigma_p^2=w^2\sigma_1^2+(1-w)^2\sigma_2^2+2w(1-w)\rho_{12}\sigma_1\sigma_2$$

當 $\rho_{12}=1$ 時 $\sigma_p=w\sigma_1+(1-w)\sigma_2$，風險只是線性加權，前沿退化成直線、沒有任何分散利益。任何 $\rho_{12}<1$ 都讓 $\sigma_p$ 嚴格小於線性加權值，曲線因而向左彎曲。極端情形 $\rho_{12}=-1$ 可構造出 $\sigma_p=0$ 的組合。

對等權重 $n$ 資產組合，把變異數拆成兩部分更直觀：

$$\sigma_p^2=\frac{1}{n}\overline{\sigma^2}+\Big(1-\frac1n\Big)\overline{\text{cov}}\ \xrightarrow[n\to\infty]{}\ \overline{\text{cov}}$$

個別（非系統）風險以 $1/n$ 速度消失，但平均共變異數留下來 — 這就是分散化的下限，也是 CAPM 中系統性風險概念的起點。

Lagrangian 與封閉解

$$\mathcal{L}=\tfrac12\mathbf{w}^\top\Sigma\mathbf{w}-\lambda(\boldsymbol{\mu}^\top\mathbf{w}-\mu_p)-\gamma(\mathbf{1}^\top\mathbf{w}-1)$$

一階條件 $\partial\mathcal{L}/\partial\mathbf{w}=\Sigma\mathbf{w}-\lambda\boldsymbol{\mu}-\gamma\mathbf{1}=\mathbf{0}$，故

$$\mathbf{w}^*=\lambda\,\Sigma^{-1}\boldsymbol{\mu}+\gamma\,\Sigma^{-1}\mathbf{1}$$

定義四個純量（僅由 $\boldsymbol\mu,\Sigma$ 決定，與 $\mu_p$ 無關）：

$$A=\mathbf{1}^\top\Sigma^{-1}\mathbf{1},\quad B=\mathbf{1}^\top\Sigma^{-1}\boldsymbol{\mu},\quad C=\boldsymbol{\mu}^\top\Sigma^{-1}\boldsymbol{\mu},\quad D=AC-B^2>0$$

代回兩條限制式解出 $\lambda=(A\mu_p-B)/D$、$\gamma=(C-B\mu_p)/D$，得到前沿權重的仿射表示：

$$\mathbf{w}^*(\mu_p)=\mathbf{g}+\mathbf{h}\,\mu_p,\qquad \mathbf{g}=\frac{C\Sigma^{-1}\mathbf{1}-B\Sigma^{-1}\boldsymbol\mu}{D},\quad \mathbf{h}=\frac{A\Sigma^{-1}\boldsymbol\mu-B\Sigma^{-1}\mathbf{1}}{D}$$

前沿方程式：均異空間的雙曲線

$$\sigma_p^2=\frac{A\mu_p^2-2B\mu_p+C}{D}\qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{\sigma_p^2}{1/A}-\frac{(\mu_p-B/A)^2}{D/A^2}=1$$

這是頂點在 $(1/\sqrt{A},\,B/A)$ 的雙曲線右支。在 $(\sigma,\mu)$ 平面上是雙曲線；若改畫 $(\sigma^2,\mu)$ 則是拋物線。

全域最小變異組合（GMV）

對 $\mu_p$ 微分令其為零，或直接只用 $\mathbf{1}^\top\mathbf{w}=1$ 求解：

$$\mathbf{w}_{\text{GMV}}=\frac{\Sigma^{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}^\top\Sigma^{-1}\mathbf{1}},\qquad \mu_{\text{GMV}}=\frac{B}{A},\qquad \sigma_{\text{GMV}}=\frac{1}{\sqrt{A}}$$

GMV 是唯一完全不需要估計期望報酬的前沿組合 — 這在實務上非常重要，因為 $\boldsymbol\mu$ 的估計誤差遠大於 $\Sigma$。GMV 以上（$\mu_p>B/A$）為效率前沿；以下為無效率分支，任一點都被正上方同 $\sigma$ 但更高報酬的點所支配。

兩基金分離（風險資產版）

由 $\mathbf{w}^*=\mathbf{g}+\mathbf{h}\mu_p$ 的仿射性可知：任兩個相異的前沿組合可以線性組合出整條前沿。這是 Black (1972) 的兩基金分離定理。

加入無風險資產

令無風險利率 $r_f$，投資人把比重 $y$ 放進某個風險組合 $P$、$1-y$ 放進無風險資產：

$$E[R_c]=r_f+y\big(\mu_P-r_f\big),\qquad \sigma_c=y\,\sigma_P$$

消去 $y$ 得到資本配置線（Capital Allocation Line, CAL）：

$$E[R_c]=r_f+\underbrace{\frac{\mu_P-r_f}{\sigma_P}}_{\text{Sharpe ratio}}\ \sigma_c$$

CAL 是一條從 $(0,r_f)$ 出發的直線，斜率就是組合 $P$ 的夏普比率。$y>1$ 表示以 $r_f$ 借款加碼（槓桿），對應圖上切點右側的線段。

切點組合：最陡的那條 CAL

理性投資人會挑斜率最大的 CAL，即最大化夏普比率：

$$\max_{\mathbf{w}}\ \frac{\mathbf{w}^\top\boldsymbol\mu-r_f}{\sqrt{\mathbf{w}^\top\Sigma\mathbf{w}}}\quad\text{s.t.}\quad\mathbf{1}^\top\mathbf{w}=1$$

目標函數對 $\mathbf{w}$ 為零次齊次，可先解無約束方向再正規化。一階條件給出

$$\boxed{\ \mathbf{w}_T=\frac{\Sigma^{-1}(\boldsymbol\mu-r_f\mathbf{1})}{\mathbf{1}^\top\Sigma^{-1}(\boldsymbol\mu-r_f\mathbf{1})}\ }$$

分子 $\Sigma^{-1}(\boldsymbol\mu-r_f\mathbf{1})$ 是「超額報酬經風險調整後」的方向；分母只是把權重加總正規化為 1。以 $A,B,C$ 表示，最大夏普比率為

$$S^*=\sqrt{C-2Br_f+Ar_f^2}\,,\qquad \mu_T=\frac{C-Br_f}{B-Ar_f},\qquad \sigma_T=\frac{S^*}{\,B-Ar_f\,}$$

幾何上，CAL 與前沿相切；代數上，$S^{*2}$ 恰是超額報酬向量在 $\Sigma^{-1}$ 度量下的平方長度。注意當 $r_f\to B/A=\mu_{\text{GMV}}$ 時 $B-Ar_f\to0$，切點跑向無窮遠 — 無風險利率若等於 GMV 報酬，切點不存在。

Tobin 分離定理

有了無風險資產後，所有投資人的最適風險性資產配置都是同一個 $\mathbf{w}_T$，差別只在沿 CAL 放多少 $y$。風險偏好與資產選擇被完全分離：

$$\max_y\ E[R_c]-\tfrac12 \gamma\,\sigma_c^2\quad\Longrightarrow\quad y^*=\frac{\mu_T-r_f}{\gamma\,\sigma_T^2}$$

$\gamma$ 為風險趨避係數。保守的投資人 $y^*<1$（持有部分現金），積極的 $y^*>1$（借款槓桿），但兩人持有的風險資產內部比例完全相同。

從 CAL 到 CML

若進一步假設所有投資人有相同資訊與同質預期，則每個人算出的 $\mathbf{w}_T$ 相同；市場出清要求總需求等於總供給，因此 $\mathbf{w}_T$ 必然等於市場組合 $\mathbf{w}_M$（各資產按市值加權）。此時那條特定的 CAL 稱為資本市場線（Capital Market Line, CML）：

$$E[R_p]=r_f+\frac{E[R_M]-r_f}{\sigma_M}\,\sigma_p$$

CML 只描述效率組合（總風險 $\sigma$ 全為系統性風險）。對個別資產或無效率組合，定價關係要改用證券市場線（SML）：

$$E[R_i]=r_f+\beta_i\big(E[R_M]-r_f\big),\qquad \beta_i=\frac{\text{Cov}(R_i,R_M)}{\sigma_M^2}$$

關鍵區別：CML 的橫軸是 σ（總風險），只有效率組合落在線上；SML 的橫軸是 β（系統性風險），均衡下所有資產都落在線上。CML 是配置結果，SML 是定價條件。

為什麼實務上不能直接照做

估計誤差放大器。均異最適化對 $\boldsymbol\mu$ 極度敏感。Chopra & Ziemba (1993) 指出報酬估計誤差造成的效用損失約為變異數誤差的 11 倍。Michaud 稱 MVO 為「估計誤差最大化器」。
極端與不穩定的權重。$\Sigma^{-1}$ 會放大近乎共線資產的微小差異，導致 ±300% 的部位，且輸入微調就天翻地覆。
常態與靜態假設。只用前兩階動差，忽略偏態、峰態；且假設 $\boldsymbol\mu,\Sigma$ 不隨時間變化，但相關係數在危機時系統性上升（correlation breakdown），正好在最需要分散時失效。
無摩擦假設。無交易成本、無稅、可無限量以 $r_f$ 借貸 — 實務上借款利率高於存款利率，CAL 在切點右側會出現折點（kink）。
樣本外表現。DeMiguel, Garlappi & Uppal (2009) 發現在多數資料集上，複雜的最適化組合難以穩定勝過單純的 1/N 等權重。

常見的修正做法

權重限制：加上 $w_i\ge0$ 或 $w_i\le c$。等價於對共變異數矩陣做收縮，反而常改善樣本外表現（Jagannathan & Ma, 2003）。可用上方模擬器的「禁止放空」開關對照。
收縮估計：Ledoit–Wolf 把樣本 $\hat\Sigma$ 往結構化目標收縮；報酬則用 James–Stein 往橫斷面平均收縮。
Black–Litterman：以市場隱含均衡報酬為先驗，再用貝氏方式併入主觀觀點，避開直接估計 $\boldsymbol\mu$。
風險基礎法：最小變異、風險平價（risk parity）、最大分散化 — 完全不用 $\boldsymbol\mu$。
重抽樣前沿（Resampled Frontier）：對輸入做蒙地卡羅擾動後平均權重，得到較平滑穩健的前沿。

主要文獻：Markowitz (1952) Portfolio Selection, JF；Tobin (1958) Liquidity Preference as Behavior Towards Risk, RES；Sharpe (1964) Capital Asset Prices, JF；Black (1972) Capital Market Equilibrium with Restricted Borrowing, JB；Merton (1972) An Analytic Derivation of the Efficient Portfolio Frontier, JFQA。

一頁重點

效率前沿 = 給定報酬下變異數最小的組合集合，在 $(\sigma,\mu)$ 平面上是雙曲線的上半支。彎曲程度完全來自資產間 $\rho<1$。
封閉解由 $A,B,C,D$ 四個純量決定；$\mathbf{w}^*(\mu_p)=\mathbf{g}+\mathbf{h}\mu_p$ 對目標報酬呈仿射，故任兩前沿組合即可張出整條前沿。
加入無風險資產後，最適選擇塌縮成單一切點組合 $\mathbf{w}_T\propto\Sigma^{-1}(\boldsymbol\mu-r_f\mathbf{1})$，投資人只需決定沿 CAL 的槓桿倍數 $y$。
同質預期 + 市場出清 ⇒ 切點組合就是市場組合，CAL 升格為 CML；個別資產的定價則落在 SML 上。
理論乾淨，輸入骯髒。實務價值在於它提供的紀律（風險預算、相關性思維），而非它吐出的精確權重。

→ 接著看第 2 部分：槓桿 ETF 應用與波動耗損